Théorie des poutres

La théorie des poutres, ou théorie d'Euler-Bernoulli, est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux.

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Résistance des matériaux - Statique - Poutre

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La théorie des poutres, ou théorie d'Euler-Bernoulli, est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux.

Le terme de «poutre» désigne un objet dont la longueur est grande comparé aux dimensions transverses (section fine). Stricto sensu, une poutre est un élément de structure utilisée pour la construction dans les bâtiments, les navires et autres véhicules, et dans la fabrication de machines. Cependant, le modèle des poutres peut être utilisé pour des pièces très diverses à condition qu'elles respectent certaines conditions.

La théorie des poutres est la base de la résistance des matériaux.

Historique

La paternité de la théorie des poutres est attribuée à Galilée, mais des études récentes indiquent que Léonard de Vinci l'aurait précédé. De Vinci avait supposé que la déformation variait de manière linéaire en s'éloignant de la surface neutre, le cœfficient de proportionnalité étant la courbure, mais il ne pu pas finaliser ses calculs car il ne connaissait pas la loi de Hooke. De son côté, Galilée était parti sur une hypothèse incorrecte (il supposait que la contrainte était répartie uniformément en flexion), et c'est Antoine Parent qui obtint la distribution correcte^[1].

Ce sont Leonhard Euler et Jacques Bernoulli qui émirent la première théorie utile vers 1750, alors que Daniel Bernoulli, le neveu du précédent, écrivit l'équation différentielle pour l'analyse vibratoire^[2]. À cette époque, le génie mécanique n'était pas reconnu comme une science, et on ne considérait pas que les travaux d'une académie des mathématiques pussent avoir des applications pratiques, et on continua à bâtir les ponts et les bâtiments de manière empirique. Ce n'est qu'au XIX^e siècle, avec la Tour Eiffel et les grandes roues, qu'on démontra la validité de la théorie à grande échelle.

Principes de modélisation

Modèle de la poutre

Quelques poutres classiques

Définition des termes : poutre de courbe moyenne G_OG_E, de section droite S, et fibre neutre de section dS

On nomme «poutre» un solide engendré par des surfaces, appelées «sections droites», telles que :

les centres de gravité des sections forment une courbe continue et dérivable, appelée «courbe moyenne» ; son rayon de courbure est grand devant sa longueur ;
les sections sont perpendiculaires à la courbe moyenne ; elles varient de manière continue et «lente» ;
la dimension des sections est petite devant la longueur de la courbe moyenne ;
le matériau est homogène et isotrope.

Si le rayon de courbure est faible ou que la section varie brutalement, il faudra considérer les concentrations de contrainte.

Dans les cas les plus simples, surtout celui des poutres au sens «élément de structure» (fer, tube, …) la courbe moyenne est droite et la section droite est constante.

Mais on peut modéliser d'autres types de pièces. Par exemple, un arbre de transmission, un axe, un levier, un tuyau ou un réservoir peuvent être modélisés par une poutre ; un ressort hélicoïdal (ressort à boudin) peut être reconnu comme une poutre dont la courbe moyenne est hélicoïdale, et dont la section droite est un disque.

On nomme «fibre» un volume généré par une petite portion dS de la section droite suivant une courbe parallèle à la courbe moyenne. On nomme «fibre neutre» la fibre générée par la courbe moyenne elle-même.

Pour simplifier, sauf indication contraire, nous dessinerons des poutres dont la courbe moyenne est une droite avant déformation.

Hypothèses pour les calculs

Hypothèse des petites déformations (haut) : les sections droites restent planes et perpendiculaires à la courbe moyenne ;
pour les grandes déformations (bas), les hypothèses ne sont plus respectées, les sections droites deviennent gauches et ne sont plus perpendiculaires à la courbe moyenne

La théorie des poutres est une application de la théorie de l'élasticité isotrope. Pour mener les calculs de résistance des matériaux, on considère les hypothèses suivantes :

hypothèse de Bernoulli : au cours de la déformation, les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne ;
les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement).

L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est dans ce cas dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant. Cette hypothèse n'est pas valable pour les poutres courtes. Le cisaillement est pris en compte dans le modèle de Timoshenko et Mindlin.

Calculs de résistance et de déformée

Le but final est de déterminer pour chaque point :

le tenseur des contraintes afin de vérifier qu'il n'y a pas rupture (état limite ultime, ELU) ;
la déformée finale, afin de vérifier que la poutre garde des dimensions compatibles avec son utilisation (état limite en service, ELS).

Efforts de cohésion

Principe de la coupure pour une poutre encastrée subissant une charge répartie q et une charge concentrée à son extrémité libre : le tronçon de gauche (n° 1) exerce une action mécanique sur le tronçon de droite (n° 2), et de manière réciproque, le tronçon 2 exerce une action mécanique sur le tronçon 1

Principe de la coupure pour une poutre encastrée subissant une charge répartie q et une charge concentrée $\vec{\mathrm{B}}$ à son extrémité libre : le tronçon de gauche (n° 1) exerce une action mécanique $_{\mathrm{C}}\{ \vec{\mathrm{C}}_{2/1}, \mathrm{M_{C2/1}}\}$ sur le tronçon de droite (n° 2), et de manière réciproque, le tronçon 2 exerce une action mécanique $_{\mathrm{C}}\{ \vec{\mathrm{C}}_{1/2}, \mathrm{M_{C1/2}}\}$ sur le tronçon 1

Pour cela, on définit les efforts de cohésion, ou efforts intérieurs, en chaque point de la courbe moyenne, sous la forme d'un torseur d'action appelé «torseur de cohésion» ou «torseur des efforts intérieurs». Si on effectue une coupure selon une section droite (principe de la coupe), les efforts de cohésion sont les efforts qu'exerce un des tronçons sur l'autre. On a par conséquent deux conventions :

la convention des efforts à gauche : on considère les efforts qu'exerce le tronçon de gauche sur le tronçon de droite (à droite sur la figure ci-contre) ;
la convention des efforts à droite : on considère les efforts qu'exerce le tronçon de droite sur le tronçon de gauche (à gauche sur la figure ci-contre).

Définition des composantes du torseur de cohésion

Si on choisit le repère de sorte que x soit tangent à la courbe moyenne au niveau de la coupure, dans ce cas le torseur de cohésion s'obtient en écrivant le principe essentiel de la statique sur le tronçon reconnu, et s'écrit de manière générale :

$\{ \mathcal{T}_\mathrm{coh} \} = \begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}_G \begin{Bmatrix} \mathrm{N} & \mathrm{M_t} \\ \mathrm{T}_y & \mathrm{M}_{\mathrm{f}y} \\ \mathrm{T}_z & \mathrm{M}_{\mathrm{f}z} \\ \end{Bmatrix}_{Gxyz}$

N, effort normal : force de direction tangente à la courbe moyenne ;
T, effort tranchant : force perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant un cisaillement :
- T_y : effort tranchant selon y,
- T_z : effort tranchant selon z ;
M_f, moment fléchissant : moment dont le vecteur est perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant une flexion :
- M_fy : effort tranchant selon y,
- M_fz : effort tranchant selon z ;
M_t, moment de torsion : son vecteur a pour direction x.

En deux dimensions, la simplification consiste à considérer que seul un effort tranchant, un effort de traction et un moment fléchissant est transmis de section à section, suivant le principe de la coupe. En général, on se place dans le plan (Gxy), le torseur de cohésion devient donc.

$\{ \mathcal{T}_\mathrm{coh} \} = \begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}_G \begin{Bmatrix} \mathrm{N} & 0 \\ \mathrm{T}_y & 0 \\ 0 & \mathrm{M}_{\mathrm{f}z} \\ \end{Bmatrix}_{Gxyz}$

Diagrammes des efforts intérieurs

On peut représenter de manière simple la sollicitation de la poutre en traçant le diagramme des efforts transmis de section à section en fonction de la position le long de la poutre, c'est-à-dire qu'on représente N (x), T_y (x), T_z (x), M_t (x), M_fy (x) et/ou M_fz (x). Ce diagramme est quelquefois appelé à tort diagramme des contraintes.

On représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des $x$ en traçant des lignes.

Contraintes

Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur la totalité de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on considère le plus souvent indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation, en déduire les contraintes générées localement en chaque point de la section, puis sommer les contrainte de toutes les sollicitations (principe de superposition).

Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne donne pas de bon résultats, on peut les considérer comme quasi corrects dès que la distance au point d'application dépasse plusieurs fois le diamètre de la section. Ce Principe n'est valable que pour des poutres massives, pour la majorité des autres cas il est faux. Il faut en ce sens entendre «poutre massive» lorsqu'ici est évoqué la notion de poutre.

Par la suite, la grandeur S désigne l'aire de la section droite.

Traction simple

Effort normal et contrainte

L'effort normal N correspond à de la traction simple, on a par conséquent la contrainte uniforme

$\sigma_{xx} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{S}}$ .

Cisaillement

Cisaillement simple : les forces sont coaxiales

Effort tranchant et cission dans le cas du cisaillement simple

Les efforts tranchants T_y et T_z correspondent à du cisaillement, mais il faut distinguer deux cas : le cas du cisaillement simple et le cas de la flexion simple. Dans les deux cas, les efforts extérieurs sont appliqués parallèlement à la section droite, c'est-à-dire perpendiculairement à la courbe moyenne.

Dans le cas du cisaillement simple, les efforts sont appliqués à la même abscisse x. Hormis au niveau des points d'application des efforts, on a des contraintes uniformes (principe de Barré de Saint-Venant) :

$\tau_{yx} = \sigma_{yx} = \frac{\mathrm{T}_y}{\mathrm{S}}$ , et
$\tau_{zx} = \sigma_{zx} = \frac{\mathrm{T}_z}{\mathrm{S}}$ .

Présence de cisaillement selon y associé au cisaillement selon x, nécessaire pour éviter la rotation d'un élément de matière

Si on isole un petit élément cubique de matière, on voit que la cission qu'il subit sur les sections droites devraient le faire tourner. Il subit par conséquent aussi une cission sur les faces perpendiculaires à l'axe (Gy) ^[3]. Il y a par conséquent aussi du cisaillement entre les fibres adjacentes. On peut voir cela en faisant fléchir un paquet de cartes : les carte glissent les unes sur les autres ; la poutre peut se voir comme un paquet dont les cartes seraient collées, la force de cisaillement empêchant les cartes de glisser.

Flexion simple : les forces sont décalées

Effort tranchant et cission dans le cas de la flexion simple

Dans le cas de la flexion simple, les efforts sont appliqués à des abscisses différentes. Cette contrainte ne génère que peu de risque de rupture et est par conséquent le plus souvent négligée (modèle de Bernoulli). Dans ce cas-là, la répartition des contraintes n'est plus uniforme : la contrainte sur une surface libre est forcément dans le plan de la surface, par conséquent la cission sur les faces extérieure est nulle. On a par conséquent une cission qui croît quand on s'approche de la fibre neutre. La contrainte maximale vaut alors :

poutre de section rectangulaire pleine : $\tau_{\mathrm{max}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{S}}$ ;
poutre de section circulaire pleine : $\tau_{\mathrm{max}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{S}}$ ;
tube circulaire mince : $\tau_{\mathrm{max}} \simeq 2 \cdot \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{S}}$ ;

où S est l'aire de la section droite. On voit que sur ces exemples là, la contrainte est 1,5 à 2 fois supérieure au cas du cisaillement simple.

Flexion pure

Moment fléchissant et répartition de contrainte

Les moments fléchissants M_fy et M_fz correspondent à de la flexion. Du fait de l'hypothèse de Bernoulli (les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne),

la fibre neutre a un allongement nul ;
les fibres à l'extérieur de la courbure sont étirées ;
les fibres à l'intérieur de la courbure sont comprimées.

La contrainte varie de manière linéaire :

$\sigma_{xx} = -\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \cdot y$

où I_Gz est le moment quadratique d'axe (Gz), calculé en fonction de la forme de la section droite.

Le risque de rupture se situe sur la face en extension de la poutre. Si on nomme V l'ordonnée du point situé sur cette face, la contrainte y vaut :

$\sigma_{xx\ \mathrm{max}} = -\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \cdot \mathrm{V} = -\frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}}{\mathrm{V}}}$ .

La grandeur I_Gz/V est appelée «module de flexion».

Si la poutre est symétrique et de hauteur h, on a

V = ±h/2.

Note

Comme c'est la valeur absolue de la contrainte qui nous intéresse, on trouve fréquemment les expressions

$\sigma_{xx} = \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}} \cdot y$

$\sigma_{xx\ \mathrm{max}} = \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{f}z}}{\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{G}z}}{\mathrm{V}}}$ .

Article détaillé : Flexion (matériau) .

Torsion

Le moment de torsion M_t correspond à de la torsion ; on a des contraintes de cisaillement qui varient de manière linéaire quand on s'éloigne de la fibre neutre.

Sollicitation composée

En décomposant la sollicitation composée en sollicitations simples, on peut déterminer le tenseur des contraintes en tout point. Il faut ensuite déterminer un effort de comparaison suivant un des critères de Tresca ou de von Mises.

Déformée

Une théorie complexe, faisant appel à l'intégration ainsi qu'à la mécanique du solide déformable.

Notes

↑ Roberto Ballarini, The Da Vinci-Euler-Bernoulli Beam Theory?, in Mechanical Engineering Magazine Online, , 18 avril 2003., http ://www. memagazine. org/contents/current/webonly/webex418. html
↑ Seon M. Han, Haym Benaroya et Timothy Wei, Dynamics of Transversely Vibrating Beams using four Engineering Theories, in Mechanical Engineering Magazine Online, , 22 mars 1999., http ://csxe. rutgers. edu/research/vibration/51. pdf
↑ C'est ce qui explique que le tenseur des contraintes est une matrice symétrique

Voir aussi

Bibliographie

Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan, 2001
p. 265-396
Claude Hazard, Frédy Lelong, Bruno Quinzain, Mémotech — Structures métalliques, Casteilla, 1997
p. 326-336
D. Spenlé, R. Gourhant, Guide du calcul en mécanique, Hachette, 2003
p. 130-208

Liens externes

Cours des Mines de Paris (licence Creative Commons)
Formule de calcul des poutres simples en deux dimensions (version libre de droits)
Calcul des contraintes dans les poutres, en trois dimensions
Calcul d'une poutre
Approche mathématique des poutres
Cours sur la méthode des éléments finis de Yves Debard de l'Université du Mans [pdf] :
- Poutre soumise à un effort normal,
- Flexion des poutres à plan moyen

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"Figure 2 : Poutre 2"
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